近畿大学
2016年 理系 第3問
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![iを虚数単位とする.異なる3つの複素数α,β,γの間に等式γ-iβ=(1-i)αが成り立つものとする.さらに,αは方程式|α-2|=|α-2√3i|を満たすとする.複素数平面において3点A(α),B(β),C(γ)を頂点とする△ABCを考える.(1)∠BAC={[アイ]}°,∠ABC={[ウエ]}°,∠ACB={[オカ]}°である.(2)点Aが虚軸上にあるとき,α=\frac{[キ]\sqrt{[ク]}}{[ケ]}iである.さらに点Bが実軸上にあるとすると,点Cは方程式|γ|=|γ-\delta| (ただし\deltaは0と異なる定数) を満たす.このとき\delta=\frac{[コ]\sqrt{[サ]}}{[シ]}である.(3)点Bおよび点Cがそれぞれ,実軸上,虚軸上にあるときα=[ス]-\sqrt{[セ]}+([ソタ]+\sqrt{[チ]})iである.さらに,γが方程式|γ-2|=|γ-2√3i|を満たすときβ=\frac{[ツ]-[テ]\sqrt{[ト]}}{[ナ]}である.](./thumb/541/2297/2016_3.png)
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$i$を虚数単位とする.異なる$3$つの複素数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の間に等式$\gamma-i \beta=(1-i) \alpha$が成り立つものとする.さらに,$\alpha$は方程式$|\alpha-2|=|\alpha-2 \sqrt{3|i}$を満たすとする.複素数平面において$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{B}(\beta)$,$\mathrm{C}(\gamma)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$を考える.
(1) $\angle \mathrm{BAC}={\fbox{アイ}}^\circ$,$\angle \mathrm{ABC}={\fbox{ウエ}}^\circ$,$\angle \mathrm{ACB}={\fbox{オカ}}^\circ$である.
(2) 点$\mathrm{A}$が虚軸上にあるとき,$\displaystyle \alpha=\frac{\fbox{キ} \sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}}i$である.さらに点$\mathrm{B}$が実軸上にあるとすると,点$\mathrm{C}$は方程式 \[ |\gamma|=|\gamma-\delta| \quad \text{(ただし$\delta$は$0$と異なる定数)} \] を満たす.このとき$\displaystyle \delta=\frac{\fbox{コ} \sqrt{\fbox{サ}}}{\fbox{シ}}$である.
(3) 点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$がそれぞれ,実軸上,虚軸上にあるとき \[ \alpha=\fbox{ス}-\sqrt{\fbox{セ}}+\left( \fbox{ソタ}+\sqrt{\fbox{チ}} \right) i \] である.さらに,$\gamma$が方程式$|\gamma-2|=|\gamma-2 \sqrt{3|i}$を満たすとき \[ \beta=\frac{\fbox{ツ}-\fbox{テ} \sqrt{\fbox{ト}}}{\fbox{ナ}} \] である.
(1) $\angle \mathrm{BAC}={\fbox{アイ}}^\circ$,$\angle \mathrm{ABC}={\fbox{ウエ}}^\circ$,$\angle \mathrm{ACB}={\fbox{オカ}}^\circ$である.
(2) 点$\mathrm{A}$が虚軸上にあるとき,$\displaystyle \alpha=\frac{\fbox{キ} \sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}}i$である.さらに点$\mathrm{B}$が実軸上にあるとすると,点$\mathrm{C}$は方程式 \[ |\gamma|=|\gamma-\delta| \quad \text{(ただし$\delta$は$0$と異なる定数)} \] を満たす.このとき$\displaystyle \delta=\frac{\fbox{コ} \sqrt{\fbox{サ}}}{\fbox{シ}}$である.
(3) 点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$がそれぞれ,実軸上,虚軸上にあるとき \[ \alpha=\fbox{ス}-\sqrt{\fbox{セ}}+\left( \fbox{ソタ}+\sqrt{\fbox{チ}} \right) i \] である.さらに,$\gamma$が方程式$|\gamma-2|=|\gamma-2 \sqrt{3|i}$を満たすとき \[ \beta=\frac{\fbox{ツ}-\fbox{テ} \sqrt{\fbox{ト}}}{\fbox{ナ}} \] である.
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