吉備国際大学
2010年 B方式 第3問
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![平面上のベクトルベクトルa=(cosα,sinα),ベクトルb=(cosβ,sinβ)で,ベクトルaとベクトルbのあいだに|pベクトルa|+\vectit{b}=√3|ベクトルa|-p\vectit{b},p>0の関係がある.次の問題に答えよ.(1)ベクトルaとベクトルbのそれぞれの大きさ|ベクトルa|と|ベクトルb|を求めよ.(2)ベクトルaとベクトルbの内積ベクトルa・ベクトルbをpの式で表わせ.(3)ベクトルa・ベクトルbの最小値qを求めよ.(4)(3)のときのベクトルaとベクトルbのなす角θ(0≦θ≦π)を求めよ.(5)(4)でβ=π/4,α≧β,0≦α≦πのとき,αを求めよ.](./thumb/621/2943/2010_3.png)
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平面上のベクトル$\overrightarrow{a}=(\cos \alpha,\ \sin \alpha)$,$\overrightarrow{b}=(\cos \beta,\ \sin \beta)$で,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のあいだに
\[ |p \overrightarrow{a|+\vectit{b}}=\sqrt{3} |\overrightarrow{a|-p \vectit{b}},\quad p>0 \]
の関係がある.次の問題に答えよ.
(1) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のそれぞれの大きさ$|\overrightarrow{a|}$と$|\overrightarrow{b|}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$p$の式で表わせ.
(3) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の最小値$q$を求めよ.
(4) $(3)$のときの$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta \ \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を求めよ.
(5) $(4)$で$\displaystyle \beta=\frac{\pi}{4}$,$\alpha \geqq \beta$,$0 \leqq \alpha \leqq \pi$のとき,$\alpha$を求めよ.
(1) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のそれぞれの大きさ$|\overrightarrow{a|}$と$|\overrightarrow{b|}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$p$の式で表わせ.
(3) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の最小値$q$を求めよ.
(4) $(3)$のときの$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta \ \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を求めよ.
(5) $(4)$で$\displaystyle \beta=\frac{\pi}{4}$,$\alpha \geqq \beta$,$0 \leqq \alpha \leqq \pi$のとき,$\alpha$を求めよ.
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