豊橋技術科学大学
2016年 工学部 第1問
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\begin{mawarikomi}{50mm}{\imgc{410_1079_2016_1}}
$1$辺の長さが$a$の正方形$\mathrm{S}_1$に内接する円を描き,この円に内接する正方形$\mathrm{S}_2$を描いて,正方形$\mathrm{S}_1$から正方形$\mathrm{S}_2$を除いた領域$\mathrm{B}_1$を黒く塗る.次に正方形$\mathrm{S}_2$に内接する円を描き,この円に内接する正方形$\mathrm{S}_3$を描いて,正方形$\mathrm{S}_2$から正方形$\mathrm{S}_3$を除いた領域$\mathrm{W}_1$を白く塗る.同様に$m$番目の正方形$\mathrm{S}_m$の内接円に内接する正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を描き,正方形$\mathrm{S}_m$から正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を除いた領域を黒,白,黒,白と交互に塗ることを繰り返す.ただし,$m$は自然数であるとする.以下の問いに答えよ.
\end{mawarikomi}
(1) $\mathrm{S}_1$から$\mathrm{S}_2$を除いた黒い領域$\mathrm{B}_1$の面積を$a$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{S}_2$から$\mathrm{S}_3$を除いた白い領域$\mathrm{W}_1$の面積を$a$を用いて表せ.
(3) $1$番目の黒い領域$\mathrm{B}_1$から$n$番目の黒い領域$\mathrm{B}_n$までの面積の和を$a$と$n$を用いて表せ.ただし,$n$は自然数であるとする.
(4) 黒い領域$\mathrm{B}_1$から$\mathrm{B}_n$までの面積の和において,$n \to \infty$としたときの極限$P$を$a$を用いて表せ.
(5) $1$番目の白い領域$\mathrm{W}_1$から$n$番目の白い領域$\mathrm{W}_n$までの面積の和を求め,$n \to \infty$としたときの極限$Q$を$a$を用いて表せ.次に$\displaystyle \frac{P}{Q}$の値を求めよ.
(1) $\mathrm{S}_1$から$\mathrm{S}_2$を除いた黒い領域$\mathrm{B}_1$の面積を$a$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{S}_2$から$\mathrm{S}_3$を除いた白い領域$\mathrm{W}_1$の面積を$a$を用いて表せ.
(3) $1$番目の黒い領域$\mathrm{B}_1$から$n$番目の黒い領域$\mathrm{B}_n$までの面積の和を$a$と$n$を用いて表せ.ただし,$n$は自然数であるとする.
(4) 黒い領域$\mathrm{B}_1$から$\mathrm{B}_n$までの面積の和において,$n \to \infty$としたときの極限$P$を$a$を用いて表せ.
(5) $1$番目の白い領域$\mathrm{W}_1$から$n$番目の白い領域$\mathrm{W}_n$までの面積の和を求め,$n \to \infty$としたときの極限$Q$を$a$を用いて表せ.次に$\displaystyle \frac{P}{Q}$の値を求めよ.
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