天使大学
2016年 全学部 第2問
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次の問いに答えなさい.
(1) 分母と分子が整数である有理数全体の集合を$Q$とおく.さらに$2$以上$4$以下で分母が$15$である$Q$の部分集合を$U$とおく.次の問いに答えなさい.
(ⅰ) 分子が$3$の倍数である$U$の要素の個数$N_1$と分子が$5$の倍数である$U$の要素の個数$N_2$を求めなさい.
$N_1=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$ \quad $N_2=\mkakko{$\mathrm{c}$}$
(ⅱ) $U$の要素の中で,既約分数の個数を$N_3$とする.$N_3$を求めなさい.
$N_3=\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}$
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$,$\angle \mathrm{B}={90}^\circ$とする.直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{AC}$を満たす点$\mathrm{P}$をとり,$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とおく.次の問いに答えなさい.
(ⅰ) $\mathrm{BA}>\mathrm{BP}$のとき,$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{f}$}+\mkakko{$\mathrm{g}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{h}$}}$である.
(ⅱ) $\mathrm{BA}<\mathrm{BP}$のとき,$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{i}$}+\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{l}$}}$である.
(1) 分母と分子が整数である有理数全体の集合を$Q$とおく.さらに$2$以上$4$以下で分母が$15$である$Q$の部分集合を$U$とおく.次の問いに答えなさい.
(ⅰ) 分子が$3$の倍数である$U$の要素の個数$N_1$と分子が$5$の倍数である$U$の要素の個数$N_2$を求めなさい.
$N_1=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$ \quad $N_2=\mkakko{$\mathrm{c}$}$
(ⅱ) $U$の要素の中で,既約分数の個数を$N_3$とする.$N_3$を求めなさい.
$N_3=\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}$
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$,$\angle \mathrm{B}={90}^\circ$とする.直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{AC}$を満たす点$\mathrm{P}$をとり,$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とおく.次の問いに答えなさい.
(ⅰ) $\mathrm{BA}>\mathrm{BP}$のとき,$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{f}$}+\mkakko{$\mathrm{g}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{h}$}}$である.
(ⅱ) $\mathrm{BA}<\mathrm{BP}$のとき,$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{i}$}+\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{l}$}}$である.
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