埼玉大学
2016年 理学部 第2問
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$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},\ g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}$とする.次の問いに答えよ.
(1) $g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ.
(2) 数列$\{a_n\}$を \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定め,数列$\{b_n\}$を \[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定める.
[(ア)] $b_n=f(a_n) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ. [(イ)] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ. [(ウ)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ.
(1) $g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ.
(2) 数列$\{a_n\}$を \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定め,数列$\{b_n\}$を \[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定める.
[(ア)] $b_n=f(a_n) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ. [(イ)] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ. [(ウ)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ.
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