埼玉大学
2013年 工学部 第1問
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$a,\ b$を0でない実数とし,
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
0 & a^2 \\
-b^2 & 2ab
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
とする.さらに,実数$p$を,$B=A-pE$が$B^2=O$を満たすように定める.
(1) $p$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 自然数$n$に対し, \[ A^n=sE+tB \quad (s,\ t \text{は実数}) \] と表すとき,$s,\ t$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ.
(3) 自然数$n$に対し, \[ A^n \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right)=q \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right) \] を満たす実数$q$と$r$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ.
(1) $p$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 自然数$n$に対し, \[ A^n=sE+tB \quad (s,\ t \text{は実数}) \] と表すとき,$s,\ t$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ.
(3) 自然数$n$に対し, \[ A^n \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right)=q \left( \begin{array}{c} a \\ r \end{array} \right) \] を満たす実数$q$と$r$を$n,\ a,\ b$を用いて表せ.
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