北九州市立大学
2014年 国際環境工 第4問
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![Oを原点とする座標空間内に3点A(2,0,0),B(-2,2,0),C(2,-2,4)がある.以下の問いに答えよ.(1)ベクトルベクトルAB,ベクトルACの大きさ|ベクトルAB|,|ベクトルAC|を求めよ.また,∠BAC=θとするときcosθの値を求めよ.(2)3点A,B,Cの定める平面をαとし,Oから平面αに引いた垂線と平面αとの交点をHとする.また,ベクトルOH=sベクトルOA+tベクトルOB+uベクトルOC,s+t+u=1とする.このときのHの座標をs,t,uを用いて表せ.(3)Hの座標と線分OHの長さを求めよ.(4)四面体OABCの体積を求めよ.](./thumb/680/3135/2014_4.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(-2,\ 2,\ 0)$,$\mathrm{C}(2,\ -2,\ 4)$がある.以下の問いに答えよ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$,$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$を求めよ.また,$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき$\cos \theta$の値を求めよ.
(2) $3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし,$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に引いた垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$,$s+t+u=1$とする.このときの$\mathrm{H}$の座標を$s,\ t,\ u$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ.
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$,$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$を求めよ.また,$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき$\cos \theta$の値を求めよ.
(2) $3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし,$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に引いた垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$,$s+t+u=1$とする.このときの$\mathrm{H}$の座標を$s,\ t,\ u$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ.
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
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