東京慈恵会医科大学
2012年 理系 第3問
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$n$を$3$以上の整数とする.$xyz$空間の平面$z=0$上に,$1$辺の長さが$4$の正$n$角形$P$があり,$P$の外接円の中心を$\mathrm{G}$とおく.半径$1$の球$B$の中心が$P$の辺に沿って$1$周するとき,$B$が通過してできる立体を$K_n$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $P$の隣り合う$2$つの頂点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$をとる.$\mathrm{G}$から辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$に下ろした垂線と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき,$\mathrm{GQ}>1$となることを示せ.
(2) 次の各問に答えよ.
(ⅰ) $K_n$を平面$z=t \ \ (-1 \leqq t \leqq 1)$で切ったときの断面積$S(t)$を$t$と$n$を用いて表せ.
(ⅱ) $K_n$の体積$V(n)$を$n$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{G}$を通り,平面$z=0$に垂直な直線を$\ell$とする.$K_n$を$\ell$のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$W(n)$を$n$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{V(n)}{W(n)}$を求めよ.
(1) $P$の隣り合う$2$つの頂点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$をとる.$\mathrm{G}$から辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$に下ろした垂線と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき,$\mathrm{GQ}>1$となることを示せ.
(2) 次の各問に答えよ.
(ⅰ) $K_n$を平面$z=t \ \ (-1 \leqq t \leqq 1)$で切ったときの断面積$S(t)$を$t$と$n$を用いて表せ.
(ⅱ) $K_n$の体積$V(n)$を$n$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{G}$を通り,平面$z=0$に垂直な直線を$\ell$とする.$K_n$を$\ell$のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$W(n)$を$n$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{V(n)}{W(n)}$を求めよ.
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