広島大学
2013年 理系 第1問
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![-π/2<θ<π/2とする.座標平面上で原点Oを通り傾きがtanθの直線をℓとし,行列(\begin{array}{cc}cos^2θ&sinθcosθ\sinθcosθ&sin^2θ\end{array})の表す1次変換をfとする.座標平面上に2点P,Qがある.次の問いに答えよ.(1)線分OPが直線ℓと垂直であるとき,1次変換fによる点Pの像を求めよ.(2)1次変換fによる点Qの像をRとする.このとき|ベクトルOR|≦|ベクトルOQ|が成り立つことを示せ.さらに等号が成立する場合を調べよ.(3)1次変換fによる点(1,1)の像をSとする.このとき|ベクトルOS|が最大となるθと最小となるθをそれぞれ求めよ.](./thumb/629/1921/2013_1.png)
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$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.座標平面上で原点$\mathrm{O}$を通り傾きが$\tan \theta$の直線を$\ell$とし,行列
\[ \left( \begin{array}{cc}
\cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\
\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta
\end{array} \right) \]
の表す$1$次変換を$f$とする.座標平面上に$2$点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$がある.次の問いに答えよ.
(1) 線分$\mathrm{OP}$が直線$\ell$と垂直であるとき,$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を求めよ.
(2) $1$次変換$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とする.このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}| \leqq |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$が成り立つことを示せ.さらに等号が成立する場合を調べよ.
(3) $1$次変換$f$による点$(1,\ 1)$の像を$\mathrm{S}$とする.このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OS}}|$が最大となる$\theta$と最小となる$\theta$をそれぞれ求めよ.
(1) 線分$\mathrm{OP}$が直線$\ell$と垂直であるとき,$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を求めよ.
(2) $1$次変換$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とする.このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}| \leqq |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$が成り立つことを示せ.さらに等号が成立する場合を調べよ.
(3) $1$次変換$f$による点$(1,\ 1)$の像を$\mathrm{S}$とする.このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OS}}|$が最大となる$\theta$と最小となる$\theta$をそれぞれ求めよ.
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