浜松医科大学
2014年 医学部 第1問
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$p$を正の実数として,放物線$C:y^2=4px$を定める.$C$の頂点を$\mathrm{O}$,焦点を$\mathrm{F}$,準線を$\ell:x=-p$とする.$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 2 \sqrt{pa}) \ \ (a>0)$と$\mathrm{B}(b,\ -2 \sqrt{pb}) \ \ (b>0)$を考えるとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし,$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする.$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて,$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ.
(2) 接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき,$b$を$a,\ p$を用いて表せ.また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき,$b$の最小値を求めよ.
以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$,$\mathrm{B}_0$とし,接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする.
(3) 直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ.
(4) $\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$,線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき,比$S:T$を求めよ.
(1) $\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし,$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする.$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて,$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ.
(2) 接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき,$b$を$a,\ p$を用いて表せ.また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき,$b$の最小値を求めよ.
以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$,$\mathrm{B}_0$とし,接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする.
(3) 直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ.
(4) $\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$,線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき,比$S:T$を求めよ.
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