福井大学
2012年 医学部 第3問
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曲線$C:y=e^{-x}$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^{-a})$における$C$の法線$m$と直線$\ell_1:x=a$に関して,以下の問いに答えよ.
(1) $\ell_1$と$m$のなす角を$\theta$とするとき,$\tan \theta$を$a$を用いて表せ.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(2) $m$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とするとき,$\ell_2$の方程式を$a$を用いて表せ.
(3) $\ell_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{P}$とおく.$a$が実数全体を動くとき,$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値とそのときの$a$の値を求めよ.
(4) $a$を(3)で求めた値とするとき,曲線$C$,$y$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分を,$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ.
(1) $\ell_1$と$m$のなす角を$\theta$とするとき,$\tan \theta$を$a$を用いて表せ.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(2) $m$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とするとき,$\ell_2$の方程式を$a$を用いて表せ.
(3) $\ell_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{P}$とおく.$a$が実数全体を動くとき,$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値とそのときの$a$の値を求めよ.
(4) $a$を(3)で求めた値とするとき,曲線$C$,$y$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分を,$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ.
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