福井大学
2011年 医学部 第2問
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![1辺の長さが1の正十二面体を考える.点O,A,B,C,D,\\E,Fを図に示す正十二面体の頂点とし,ベクトルOA=ベクトルa,\\ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおくとき,以下の問いに答えよ.\\なお,正十二面体では,すべての面は合同な正五角形であり,\\各頂点は3つの正五角形に共有されている.\img{366_2546_2011_1}{36}(1)1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さを求めて,\\内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ.(2)ベクトルCD,ベクトルOFをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(3)Oから平面ABDに垂線OHを下ろす.ベクトルOHをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.さらにその長さを求めよ.](./thumb/366/2546/2011_2.png)
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$1$辺の長さが$1$の正十二面体を考える.点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$, \\
$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$を図に示す正十二面体の頂点とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$, \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ. \\
なお,正十二面体では,すべての面は合同な正五角形であり, \\
各頂点は$3$つの正五角形に共有されている.
\img{366_2546_2011_1}{36}
(1) $1$辺の長さが$1$の正五角形の対角線の長さを求めて, \\ 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABD}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.さらにその長さを求めよ.
(1) $1$辺の長さが$1$の正五角形の対角線の長さを求めて, \\ 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABD}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.さらにその長さを求めよ.
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![](./thumb/181/2219/2014_1s.png)
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