福井大学
2011年 医学部 第1問
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以下の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{O}$を原点とする座標平面上,直線$y=kx \ (k \text{は定数})$に関する対称移動を$f$で表す.また座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して,直線$\mathrm{OP}$を$\mathrm{O}$を中心として角$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転して得られる直線$\ell$に$\mathrm{P}$から下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし,$\mathrm{P}$を$\mathrm{Q}$に移す移動を$g$で表す.ただし$\mathrm{O}$は$g$により$\mathrm{O}$自身に移動するものとする.$f,\ g$をこの順に続けて行って得られる移動(合成変換$g \circ f$)を表す行列を$A$とおくとき,$A$およびその逆行列$A^{-1}$を求めよ.
(2) 2次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$に対して,$T(M)=a+d,\ D(M)=ad-bc$と定める.このとき以下の命題を証明せよ. \\ 「すべての自然数$n$に対して$T(M^n)=\{T(M)\}^n$が成り立つことと,$D(M)=0$であることは,互いに同値である.」
(1) $\mathrm{O}$を原点とする座標平面上,直線$y=kx \ (k \text{は定数})$に関する対称移動を$f$で表す.また座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して,直線$\mathrm{OP}$を$\mathrm{O}$を中心として角$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転して得られる直線$\ell$に$\mathrm{P}$から下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし,$\mathrm{P}$を$\mathrm{Q}$に移す移動を$g$で表す.ただし$\mathrm{O}$は$g$により$\mathrm{O}$自身に移動するものとする.$f,\ g$をこの順に続けて行って得られる移動(合成変換$g \circ f$)を表す行列を$A$とおくとき,$A$およびその逆行列$A^{-1}$を求めよ.
(2) 2次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$に対して,$T(M)=a+d,\ D(M)=ad-bc$と定める.このとき以下の命題を証明せよ. \\ 「すべての自然数$n$に対して$T(M^n)=\{T(M)\}^n$が成り立つことと,$D(M)=0$であることは,互いに同値である.」
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