愛知工業大学
2014年 理系 第1問
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次の$\fbox{}$を適当に補え.
(1) $ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$\fbox{ア}$となる.
(2) 自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする.ただし,和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする.例えば,$4=2+2$,$4=2+1+1$,$4=1+1+1+1$であるから,$a(4)=3$である.このとき,$a(9)=\fbox{イ}$,$a(2014)=\fbox{ウ}$である.
(3) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき,$a_n=\fbox{エ}$,$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=\fbox{オ}$である.
(4) $0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると,$t$のとりうる値の範囲は$\fbox{カ} \leqq t \leqq \fbox{キ}$であり,$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$\fbox{ク}$,最小値は$\fbox{ケ}$である.
(5) $\log_2 64=\fbox{コ}$である.また,$x$を$1$でない正の数とするとき,$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$\fbox{サ}$である. $f(x)=\sin 2x$とするとき,$f^\prime(x)=\fbox{シ}$である.また,$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=\fbox{ス}$である.
(1) $ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$\fbox{ア}$となる.
(2) 自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする.ただし,和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする.例えば,$4=2+2$,$4=2+1+1$,$4=1+1+1+1$であるから,$a(4)=3$である.このとき,$a(9)=\fbox{イ}$,$a(2014)=\fbox{ウ}$である.
(3) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき,$a_n=\fbox{エ}$,$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=\fbox{オ}$である.
(4) $0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると,$t$のとりうる値の範囲は$\fbox{カ} \leqq t \leqq \fbox{キ}$であり,$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$\fbox{ク}$,最小値は$\fbox{ケ}$である.
(5) $\log_2 64=\fbox{コ}$である.また,$x$を$1$でない正の数とするとき,$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$\fbox{サ}$である. $f(x)=\sin 2x$とするとき,$f^\prime(x)=\fbox{シ}$である.また,$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=\fbox{ス}$である.
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