鹿児島大学
2011年 医(医)・理(数理・物理・地環)・工・歯 第4問
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![f(x)は数直線上の連続関数で,次の条件(i)と(ii)をみたすものとする.(i)f(x)は周期1の周期関数,すなわち,すべてのxでf(x+1)=f(x)が成り立つ.(ii)∫_0^1f(x)dx=0次の各問いに答えよ.(1)条件(i)と(ii)をみたす恒等的に0でない連続関数f(x)の例を1つ挙げよ.(2)F(x)=∫_0^xf(y)dyとおくと,F(x)も周期1の周期関数であることを示せ.(3)n=1,2,3,・・・に対して,d/dxF(nx)をfを用いて表せ.(4)数列{a_n}をa_n=∫_0^1xf(nx)dx(n=1,2,3,・・・)と定める.\lim_{n→∞}a_n=0を示せ.](./thumb/742/3068/2011_4.png)
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$f(x)$は数直線上の連続関数で,次の条件$\tokeiichi$と$\tokeini$をみたすものとする.
$\tokeiichi$ \ \ $f(x)$は周期1の周期関数,すなわち,すべての$x$で$f(x+1)=f(x)$が成り立つ.
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=0$
次の各問いに答えよ.
(1) 条件$\tokeiichi$と$\tokeini$をみたす恒等的に$0$でない連続関数$f(x)$の例を$1$つ挙げよ.
(2) $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(y) \, dy$とおくと,$F(x)$も周期$1$の周期関数であることを示せ.
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$\displaystyle \frac{d}{dx}F(nx)$を$f$を用いて表せ.
(4) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\int_0^1 xf(nx) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] と定める.$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ.
$\tokeiichi$ \ \ $f(x)$は周期1の周期関数,すなわち,すべての$x$で$f(x+1)=f(x)$が成り立つ.
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=0$
次の各問いに答えよ.
(1) 条件$\tokeiichi$と$\tokeini$をみたす恒等的に$0$でない連続関数$f(x)$の例を$1$つ挙げよ.
(2) $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(y) \, dy$とおくと,$F(x)$も周期$1$の周期関数であることを示せ.
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$\displaystyle \frac{d}{dx}F(nx)$を$f$を用いて表せ.
(4) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\int_0^1 xf(nx) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] と定める.$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ.
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