北里大学
2014年 医学部 第3問
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![aは0<a<eを満たす定数とする.曲線y=logx上の点A(a,loga)における接線をℓ,法線をmとおく.以下の問に答えよ.必要ならばe=\lim_{k→0}(1+k)^{1/k}で,2.718<e<2.719であることを用いてよい.(1)接線ℓの方程式をaを用いて表せ.(2)接線ℓがx軸と交わる点をP,y軸と交わる点をQとし,原点をOとする.三角形OPQの面積をS(a)とおくとき,S(a)をaを用いて表せ.(3)aが0<a<eの範囲を動くとき,(2)のS(a)を最大にするaの値とS(a)の最大値を求めよ.(4)aが0<a<eの範囲を動くとき,法線mが点(e,0)を通るようなaの値の個数はただ1個であることを示せ.](./thumb/198/2234/2014_3.png)
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$a$は$0<a<e$を満たす定数とする.曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$,法線を$m$とおく.以下の問に答えよ.必要ならば$\displaystyle e=\lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}}$で,$2.718<e<2.719$であることを用いてよい.
(1) 接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ.
(2) 接線$\ell$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}$,$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし,原点を$\mathrm{O}$とする.三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S(a)$とおくとき,$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(3) $a$が$0<a<e$の範囲を動くとき,$(2)$の$S(a)$を最大にする$a$の値と$S(a)$の最大値を求めよ.
(4) $a$が$0<a<e$の範囲を動くとき,法線$m$が点$(e,\ 0)$を通るような$a$の値の個数はただ$1$個であることを示せ.
(1) 接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ.
(2) 接線$\ell$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}$,$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし,原点を$\mathrm{O}$とする.三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S(a)$とおくとき,$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(3) $a$が$0<a<e$の範囲を動くとき,$(2)$の$S(a)$を最大にする$a$の値と$S(a)$の最大値を求めよ.
(4) $a$が$0<a<e$の範囲を動くとき,法線$m$が点$(e,\ 0)$を通るような$a$の値の個数はただ$1$個であることを示せ.
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