北海道大学
2012年 理系 第4問
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![実数a,bに対して,f(x)=x^2-2ax+b,g(x)=x^2-2bx+aとおく.(1)a≠bのとき,f(c)=g(c)を満たす実数cを求めよ.(2)(1)で求めたcについて,a,bが条件a<c<bを満たすとする.このとき,連立不等式f(x)<0 かつ g(x)<0が解をもつための必要十分条件をa,bを用いて表せ.(3)一般にa<bのとき,連立不等式f(x)<0 かつ g(x)<0が解をもつための必要十分条件を求め,その条件を満たす点(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ.](./thumb/5/941/2012_4.png)
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実数$a,\ b$に対して,$f(x)=x^2-2ax+b,\ g(x)=x^2-2bx+a$とおく.
(1) $a \neq b$のとき,$f(c)=g(c)$を満たす実数$c$を求めよ.
(2) (1)で求めた$c$について,$a,\ b$が条件$a<c<b$を満たすとする.このとき,連立不等式 \[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \] が解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表せ.
(3) 一般に$a<b$のとき,連立不等式 \[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \] が解をもつための必要十分条件を求め,その条件を満たす点$(a,\ b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ.
(1) $a \neq b$のとき,$f(c)=g(c)$を満たす実数$c$を求めよ.
(2) (1)で求めた$c$について,$a,\ b$が条件$a<c<b$を満たすとする.このとき,連立不等式 \[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \] が解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表せ.
(3) 一般に$a<b$のとき,連立不等式 \[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \] が解をもつための必要十分条件を求め,その条件を満たす点$(a,\ b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ.
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