山形大学
2014年 農学部 第1問
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![座標平面上の点(-2,1)をA,点(a,1/4a^2)をBとする.ただし,0<a<2とする.また,y=1/4x^2で表される放物線をCとする.このとき,次の問に答えよ.(1)放物線Cと線分ABで囲まれる部分の面積Sをaの式で表せ.(2)直線ABが直線x=2と交わる点をDとする.放物線Cと線分BDおよび直線x=2で囲まれる部分の面積Tをaの式で表せ.(3)次の条件によって定められる数列{p_n},{q_n}の一般項を求めよ.(i)p_1=1,p_n>0,(ii)q_n=1/4{p_n}^2,(iii)p_n-p_{n+1}=2\sqrt{q_nq_{n+1}}(4)a=p_nのとき,(1)と(2)で求めたSとTに対し,T>Sとなる最小のnを求めよ.](./thumb/72/2307/2014_1.png)
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座標平面上の点$(-2,\ 1)$を$\mathrm{A}$,点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{4}a^2 \right)$を$\mathrm{B}$とする.ただし,$0<a<2$とする.また,$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$で表される放物線を$C$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ.
(2) 直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする.放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ.
(3) 次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ.
(ⅰ) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ⅱ) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(ⅲ) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$
(4) $a=p_n$のとき,$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し,$T>S$となる最小の$n$を求めよ.
(1) 放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ.
(2) 直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする.放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ.
(3) 次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ.
(ⅰ) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ⅱ) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(ⅲ) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$
(4) $a=p_n$のとき,$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し,$T>S$となる最小の$n$を求めよ.
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