福島県立医科大学
2014年 医学部 第2問
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$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$,$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}<\frac{\pi}{2}$の$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする.平面$H$上に無い点$\mathrm{C}$から平面$H$,直線$\mathrm{OA}$,直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$,$p=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$q=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$,$r=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$として,以下の問いに答えよ.ただし,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積である.
(1) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0$であることを示せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$p,\ q,\ r$で表せ.
(3) $\mathrm{EF}$の長さを$p,\ q,\ r$で表せ.
(4) $\displaystyle p=\frac{1}{5}$,$q=1$,$r=2$であるとき,$\mathrm{OD}$の長さを求めよ.
(1) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0$であることを示せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$p,\ q,\ r$で表せ.
(3) $\mathrm{EF}$の長さを$p,\ q,\ r$で表せ.
(4) $\displaystyle p=\frac{1}{5}$,$q=1$,$r=2$であるとき,$\mathrm{OD}$の長さを求めよ.
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