宮崎大学
2010年 医学部 第5問
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![座標平面上に2つの円\begin{eqnarray}&&C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1\nonumber\\&&C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1\nonumber\end{eqnarray}がある.不等式y>2が表す領域D内に点P(a,b)をとる.点Pから円C_1,C_2にひいた接線とx軸との交点をそれぞれA,Bとする.ただし,下図のように△PABは円C_1,C_2をともに含むものとする.このとき,次の各問に答えよ.(1)bを定数とするとき,辺ABの長さが最小となるのはa=0のときであることを示せ.(2)点Pが領域D内を動くとき,△PABの面積の最小値を求めよ.\setlength\unitlength{1truecm}\begin{picture}(6,5)(0,0)\put(0.57,1.01){\line(1,0){4.2}}\put(0.57,1.01){\line(1,1){3}}\put(3.57,4){\line(2,-5){1.2}}\put(3,0){\vector(0,1){5}}\put(0,1){\vector(1,0){6}}\put(2.29,1.72){\circle{50}}\put(3.71,1.72){\circle{50}}\put(0.2,1.1){A}\put(4.9,1.1){B}\put(2.6,0.55){O}\put(2.1,1.57){C_1}\put(3.5,1.57){C_2}\put(5.7,1.2){x}\put(3.7,4.1){P}\put(3.2,4.8){y}\end{picture}](./thumb/735/3043/2010_5.png)
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座標平面上に2つの円
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある.不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる.点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA,Bとする.ただし,下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) $b$を定数とするとき,辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ.
(2) 点Pが領域$D$内を動くとき,$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ.
\setlength\unitlength{1truecm} \begin{picture}(6,5)(0,0) \put(0.57,1.01){\line(1,0){4.2}} \put(0.57,1.01){\line(1,1){3}} \put(3.57,4){\line(2,-5){1.2}} \put(3,0){\vector(0,1){5}} \put(0,1){\vector(1,0){6}} \put(2.29,1.72){\circle{50}} \put(3.71,1.72){\circle{50}} \put(0.2,1.1){A} \put(4.9,1.1){B} \put(2.6,0.55){O} \put(2.1,1.57){$C_1$} \put(3.5,1.57){$C_2$} \put(5.7,1.2){$x$} \put(3.7,4.1){P} \put(3.2,4.8){$y$} \end{picture}
(1) $b$を定数とするとき,辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ.
(2) 点Pが領域$D$内を動くとき,$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ.
\setlength\unitlength{1truecm} \begin{picture}(6,5)(0,0) \put(0.57,1.01){\line(1,0){4.2}} \put(0.57,1.01){\line(1,1){3}} \put(3.57,4){\line(2,-5){1.2}} \put(3,0){\vector(0,1){5}} \put(0,1){\vector(1,0){6}} \put(2.29,1.72){\circle{50}} \put(3.71,1.72){\circle{50}} \put(0.2,1.1){A} \put(4.9,1.1){B} \put(2.6,0.55){O} \put(2.1,1.57){$C_1$} \put(3.5,1.57){$C_2$} \put(5.7,1.2){$x$} \put(3.7,4.1){P} \put(3.2,4.8){$y$} \end{picture}
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