獨協大学
2010年 文系 第1問
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次の設問の空欄を,あてはまる数値や記号,式などで埋めなさい.
(1) 関数$y=x^3-ax^2$は,$x=\fbox{$1$}$のとき極大値$y=\fbox{$2$}$をとり,$x=\fbox{$3$}$のとき極小値$y=\fbox{$4$}$をとる.ただし,$a$は定数で$a<0$を満たすものとする.
(2) 関数$f(x)=ax^2+x+b$が$\displaystyle \int_{-2}^2 3f(x) \, dx=52$,$\displaystyle \int_{-1}^1 5x^2f(x) \, dx=12$を満たしているとき,$a=\fbox{$5$}$であり,$b=\fbox{$6$}$である.
(3) $\log_{10}2=p$,$\log_{10}3=q$とするとき,$x=\log_{10} \sqrt{36}$を$p,\ q$で表すと$x=\fbox{$7$}$であり,$y=\log_{\sqrt{6}} \sqrt{5}$を$p,\ q$で表すと$y=\fbox{$8$}$である.
(4) 次の$\tokeiichi$,$\tokeini$における$n$の値として最も適切なものを,下の(イ)~(ホ)の中から選び,記号で答えよ.
(ⅰ) $n$を整数として,$n$の階乗のおおよその値が次のように与えられたとき$n$の値は$\fbox{$9$}$である. \[ n! \fallingdotseq 4.3 \times 10^{69},\quad (n-1)! \fallingdotseq 8.1 \times 10^{67} \]
(ⅱ) $n$を整数として,$\displaystyle \frac{1}{8}$の累乗のおおよその値が次のように与えられたとき$n$の値は$\fbox{$10$}$である. \[ \left( \frac{1}{8} \right)^n \fallingdotseq 6.5 \times 10^{-55}, \quad \text{ただし,} \quad \left( \frac{1}{8} \right)^{30} \fallingdotseq 8.1 \times 10^{-28} \quad \text{とする.} \]
(イ)$50$ \quad (ロ) $53$ \quad (ハ)$58$ \quad (ニ)$60$ \quad (ホ)$63$
(5) 方程式 \[ |x|+2 |x-2|=x+\frac{1}{2} \] を満たす実数$x$をすべて求めると$\fbox{$11$}$である. $6$枚のカードがあり,「$\mathrm{E}$」と「$\mathrm{R}$」がそれぞれ$1$枚のカードに書かれており,「$\mathrm{A}$」と「$\mathrm{G}$」がそれぞれ$2$枚のカードに書かれている.このカードを$1$列に並べたとき「$\mathrm{GARAGE}$」となる確率は$\fbox{$12$}$である. $\triangle \mathrm{ABC}$の三辺をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする.$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$3 \sqrt{15}$であり, \[ a:b:c=2:3:4 \] であるとき,$a=\fbox{$13$}$,$b=\fbox{$14$}$,$c=\fbox{$15$}$である. 全体集合$U$の$2$つの部分集合$A,\ B$について,$n(U)=20$,$n(\overline{A} \cap B)=7$,$n(\overline{A} \cap \overline{B})=6$,$n(\overline{A} \cup \overline{B})=16$であるとき,$n(A)=\fbox{$16$}$であり,$n(B)=\fbox{$17$}$である.
(1) 関数$y=x^3-ax^2$は,$x=\fbox{$1$}$のとき極大値$y=\fbox{$2$}$をとり,$x=\fbox{$3$}$のとき極小値$y=\fbox{$4$}$をとる.ただし,$a$は定数で$a<0$を満たすものとする.
(2) 関数$f(x)=ax^2+x+b$が$\displaystyle \int_{-2}^2 3f(x) \, dx=52$,$\displaystyle \int_{-1}^1 5x^2f(x) \, dx=12$を満たしているとき,$a=\fbox{$5$}$であり,$b=\fbox{$6$}$である.
(3) $\log_{10}2=p$,$\log_{10}3=q$とするとき,$x=\log_{10} \sqrt{36}$を$p,\ q$で表すと$x=\fbox{$7$}$であり,$y=\log_{\sqrt{6}} \sqrt{5}$を$p,\ q$で表すと$y=\fbox{$8$}$である.
(4) 次の$\tokeiichi$,$\tokeini$における$n$の値として最も適切なものを,下の(イ)~(ホ)の中から選び,記号で答えよ.
(ⅰ) $n$を整数として,$n$の階乗のおおよその値が次のように与えられたとき$n$の値は$\fbox{$9$}$である. \[ n! \fallingdotseq 4.3 \times 10^{69},\quad (n-1)! \fallingdotseq 8.1 \times 10^{67} \]
(ⅱ) $n$を整数として,$\displaystyle \frac{1}{8}$の累乗のおおよその値が次のように与えられたとき$n$の値は$\fbox{$10$}$である. \[ \left( \frac{1}{8} \right)^n \fallingdotseq 6.5 \times 10^{-55}, \quad \text{ただし,} \quad \left( \frac{1}{8} \right)^{30} \fallingdotseq 8.1 \times 10^{-28} \quad \text{とする.} \]
(イ)$50$ \quad (ロ) $53$ \quad (ハ)$58$ \quad (ニ)$60$ \quad (ホ)$63$
(5) 方程式 \[ |x|+2 |x-2|=x+\frac{1}{2} \] を満たす実数$x$をすべて求めると$\fbox{$11$}$である. $6$枚のカードがあり,「$\mathrm{E}$」と「$\mathrm{R}$」がそれぞれ$1$枚のカードに書かれており,「$\mathrm{A}$」と「$\mathrm{G}$」がそれぞれ$2$枚のカードに書かれている.このカードを$1$列に並べたとき「$\mathrm{GARAGE}$」となる確率は$\fbox{$12$}$である. $\triangle \mathrm{ABC}$の三辺をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする.$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$3 \sqrt{15}$であり, \[ a:b:c=2:3:4 \] であるとき,$a=\fbox{$13$}$,$b=\fbox{$14$}$,$c=\fbox{$15$}$である. 全体集合$U$の$2$つの部分集合$A,\ B$について,$n(U)=20$,$n(\overline{A} \cap B)=7$,$n(\overline{A} \cap \overline{B})=6$,$n(\overline{A} \cup \overline{B})=16$であるとき,$n(A)=\fbox{$16$}$であり,$n(B)=\fbox{$17$}$である.
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