千葉大学
2013年 教育学部(算数・技術) 第8問
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$r$を$1$より大きい実数とする.半径$1$の円$C$の周上に点$\mathrm{Q}$をとる.最初に円$C$の中心$\mathrm{P}$は座標平面の$(0,\ 1)$,点$\mathrm{Q}$は$(0,\ 2)$にあるものとし,円$C$が$x$軸に接しながら$x$軸の正の方向にすべることなく転がっていく.角$\theta$ラジアンだけ回転したとき,半直線$\mathrm{PQ}$上に$\mathrm{PR}=r$となる点$\mathrm{R}$をとる.$\theta$を$0$から$2\pi$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡を考える.
(1) $\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi$をみたし,$\theta=\alpha$のときの$\mathrm{R}$の座標と$\theta=\beta$のときの$\mathrm{R}$の座標とが一致するものとする.$\displaystyle t=\frac{\beta-\alpha}{2}$とおくとき,$r$を$t$を用いて表せ.
(2) (1)において,$\theta$を$\alpha$から$\beta$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡によって囲まれた図形の面積を$S$とする.$S$を$t$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{S}{r^2}$を求めよ.
(1) $\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi$をみたし,$\theta=\alpha$のときの$\mathrm{R}$の座標と$\theta=\beta$のときの$\mathrm{R}$の座標とが一致するものとする.$\displaystyle t=\frac{\beta-\alpha}{2}$とおくとき,$r$を$t$を用いて表せ.
(2) (1)において,$\theta$を$\alpha$から$\beta$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡によって囲まれた図形の面積を$S$とする.$S$を$t$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{S}{r^2}$を求めよ.
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