青山学院大学
2012年 理工A方式 第2問
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$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=1$および$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$が成り立つとする.
$\mathrm{AB}=x$とすると,$x$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \fbox{ケ}<x<\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$であり,$\mathrm{BC}$を$x$を用いて表すと$\mathrm{BC}=\sqrt{\fbox{シ}-\fbox{ス}x}$である.このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$f(x)$とおくと,その導関数は \[ f^\prime(x)=\frac{1}{\sqrt{\fbox{シ}-\fbox{ス}x}} \left( \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}-\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}x \right) \] であるので,$\displaystyle x=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}$のとき$f(x)$は最大となる.このとき$\displaystyle \angle \mathrm{BCA}=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}} \pi$である.
$\mathrm{AB}=x$とすると,$x$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \fbox{ケ}<x<\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$であり,$\mathrm{BC}$を$x$を用いて表すと$\mathrm{BC}=\sqrt{\fbox{シ}-\fbox{ス}x}$である.このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$f(x)$とおくと,その導関数は \[ f^\prime(x)=\frac{1}{\sqrt{\fbox{シ}-\fbox{ス}x}} \left( \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}-\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}x \right) \] であるので,$\displaystyle x=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}$のとき$f(x)$は最大となる.このとき$\displaystyle \angle \mathrm{BCA}=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}} \pi$である.
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