愛知工業大学
2013年 理系 第1問
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次の$\fbox{}$を適当に補え.
(1) $\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\fbox{}$,$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \right)^2=\fbox{}$である.
(2) $10$本のくじの中に$2$本の当たりくじがある.このくじを$\mathrm{A}$君が$2$本引き,次に$\mathrm{B}$さんが$2$本引く.ただし,引いたくじはもとに戻さないとする.このとき,$\mathrm{A}$君が$1$本も当たらない確率は$\fbox{}$である.また,$\mathrm{B}$さんが少なくとも$1$本当たる確率は$\fbox{}$である.
(3) $1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\mathrm{OQ}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{}$である.また,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\fbox{}$である.
(4) 複素数$z=x+yi$($x,\ y$は実数,$i$は虚数単位)に対して,$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$とする.このとき,$|z|=1$と$|z-i|=1$を同時にみたす複素数$z$は$z=\fbox{}$である.
(5) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=2 \sqrt{6}$のとき,$\sin \theta \cos \theta=\fbox{}$であり,$\theta=\fbox{}$である. $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 3x \, dx=\fbox{}$
(1) $\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\fbox{}$,$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \right)^2=\fbox{}$である.
(2) $10$本のくじの中に$2$本の当たりくじがある.このくじを$\mathrm{A}$君が$2$本引き,次に$\mathrm{B}$さんが$2$本引く.ただし,引いたくじはもとに戻さないとする.このとき,$\mathrm{A}$君が$1$本も当たらない確率は$\fbox{}$である.また,$\mathrm{B}$さんが少なくとも$1$本当たる確率は$\fbox{}$である.
(3) $1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\mathrm{OQ}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{}$である.また,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\fbox{}$である.
(4) 複素数$z=x+yi$($x,\ y$は実数,$i$は虚数単位)に対して,$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$とする.このとき,$|z|=1$と$|z-i|=1$を同時にみたす複素数$z$は$z=\fbox{}$である.
(5) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=2 \sqrt{6}$のとき,$\sin \theta \cos \theta=\fbox{}$であり,$\theta=\fbox{}$である. $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 3x \, dx=\fbox{}$
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