富山大学
2013年 理学部(数学) 第2問
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![f(x)=(1-x)^3とし,曲線y=f(x)上の点(0,1)における接線の方程式をy=p(x),点(t,f(t))における接線の方程式をy=q_t(x)とする.さらに,関数F(t)をF(t)=∫_0^tp(x)dx+∫_t^1q_t(x)dxと定める.このとき,次の問いに答えよ.(1)F(t)を求めよ.(2)F´(0),F´(1)の値を求めよ.(3)F(t)を最大にするtの値がただ1つ定まることを示せ.](./thumb/351/2514/2013_2.png)
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$f(x)=(1-x)^3$とし,曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ 1)$における接線の方程式を$y=p(x)$,点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を$y=q_t(x)$とする.さらに,関数$F(t)$を
\[ F(t)=\int_0^t p(x) \, dx+\int_t^1 q_t(x) \, dx \]
と定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $F(t)$を求めよ.
(2) $F^\prime(0)$,$F^\prime(1)$の値を求めよ.
(3) $F(t)$を最大にする$t$の値がただ$1$つ定まることを示せ.
(1) $F(t)$を求めよ.
(2) $F^\prime(0)$,$F^\prime(1)$の値を求めよ.
(3) $F(t)$を最大にする$t$の値がただ$1$つ定まることを示せ.
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