山梨大学
2011年 教育人間科学・生命環境(生命工以外) 第2問
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![実数全体で定義された関数F(x)が次の条件①と②の両方を満たすとき「F(x)は性質(P)を持つ」ということにする.①すべての実数xについてF(x)>0である.②F(x)は何度でも微分が可能で\frac{d^2}{dx^2}logF(x)=\frac{1}{{F(x)}^2}を満たす.(1)y=f(x)が性質(P)を持つときy^{\prime\prime}y-(y´)^2=1,y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y´=0となること,および\frac{y^{\prime\prime}}{y}は正の定数であることを示せ.(2)y=f(x)は性質(P)を持つとする.\frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2(kは正の定数)とおくとき,k^2y^2-(y´)^2=1であることを示し,さらにky-y´>0およびky+y´>0が成り立つことを示せ.(3)cを実数とする.(2)のとき,関数kf(c)y+1/kf´(c)y´も性質(P)を持つことを証明せよ.ただし①を示すためにkf(c)y+1/kf´(c)y´=f(c)(ky\mpy´)±1/ky´(kf(c)±f´(c))( 複号同順 )を利用してもよい.](./thumb/370/2438/2011_2.png)
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実数全体で定義された関数$F(x)$が次の条件$\maruichi$と$\maruni$の両方を満たすとき「$F(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つ」ということにする.
$\maruichi$ \ \ すべての実数$x$について$F(x)>0$である.
$\maruni$ \ \ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす.
(1) $y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$,$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること,および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ.
(2) $y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする.$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$($k$は正の定数)とおくとき,$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し,さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ.
(3) $c$を実数とする.(2)のとき,関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ.ただし$\maruichi$を示すために \[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \] を利用してもよい.
$\maruichi$ \ \ すべての実数$x$について$F(x)>0$である.
$\maruni$ \ \ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす.
(1) $y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$,$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること,および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ.
(2) $y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする.$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$($k$は正の定数)とおくとき,$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し,さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ.
(3) $c$を実数とする.(2)のとき,関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ.ただし$\maruichi$を示すために \[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \] を利用してもよい.
類題(関連度順)
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