旭川医科大学
2011年 医学部 第3問
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![曲線y=e^{ax+b}(a≧1)と曲線y=e^{-x}が一点で交わり,交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする.次の問いに答えよ.(1)交点の座標を(x(a),y(a))とおくとき,b,x(a),y(a)をそれぞれaを用いて表せ.(2)曲線y=e^{ax+b}(a≧1)をC(a)で表す.曲線C(a)と曲線C(a+1)の交点のx座標をX(a)とおくとき,\lim_{a→∞}(X(a)-x(a))を求めよ.(3)X(a)-x(a)はa≧1のとき単調減少であることを示せ.](./thumb/1/1/2011_3.png)
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曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$と曲線$y=e^{-x}$が一点で交わり,交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする.次の問いに答えよ.
(1) 交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき,$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(2) 曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す.曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき, \[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \] を求めよ.
(3) $X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ.
(1) 交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき,$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(2) 曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す.曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき, \[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \] を求めよ.
(3) $X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ.
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