熊本大学
2014年 文系 第4問
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![1次関数f_n(x)=a_nx+b_n(n=1,2,3,・・・)は以下の2つの条件を満たすとする.(i)f_1(x)=x(ii)f_{n+1}(x)は整式P_n(x)=∫_1^x6tf_n(t)dtをx^2+xで割ったときの余りに等しい.以下の問いに答えよ.(1)n≧1のとき,a_{n+1},b_{n+1}をa_n,b_nを用いて表せ.(2)n≧2のとき,|a_n|と|b_n|は偶数であることを示せ.(3)n≧2のとき,|a_n|と|b_n|は3の倍数ではないことを示せ.](./thumb/721/2974/2014_4.png)
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$1$次関数$f_n(x)=a_nx+b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は以下の$2$つの条件を満たすとする.
(ⅰ) $f_1(x)=x$
(ⅱ) $f_{n+1}(x)$は整式$\displaystyle P_n(x)=\int_1^x 6tf_n(t) \, dt$を$x^2+x$で割ったときの余りに等しい.
以下の問いに答えよ.
(1) $n \geqq 1$のとき,$a_{n+1}$,$b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ.
(2) $n \geqq 2$のとき,$|a_n|$と$|b_n|$は偶数であることを示せ.
(3) $n \geqq 2$のとき,$|a_n|$と$|b_n|$は$3$の倍数ではないことを示せ.
(ⅰ) $f_1(x)=x$
(ⅱ) $f_{n+1}(x)$は整式$\displaystyle P_n(x)=\int_1^x 6tf_n(t) \, dt$を$x^2+x$で割ったときの余りに等しい.
以下の問いに答えよ.
(1) $n \geqq 1$のとき,$a_{n+1}$,$b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ.
(2) $n \geqq 2$のとき,$|a_n|$と$|b_n|$は偶数であることを示せ.
(3) $n \geqq 2$のとき,$|a_n|$と$|b_n|$は$3$の倍数ではないことを示せ.
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