鹿児島大学
2011年 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 第5問
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次の行列$A$を考える．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
-2 & 0
\end{array} \right) \]
次の各問いに答えよ．
(1) $2 \times 2$行列$X$に対して，$E-X$が逆行列を持つとき \[ E+X+X^2+\cdots +X^n=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1} \] が成立することを示せ．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列である．
(2) $A^2$と$A^3$を計算せよ．さらに$A^{100}$と$A^{101}$を計算せよ．
(3) $E+A+A^2+\cdots +A^{100}$を計算せよ．
(1) $2 \times 2$行列$X$に対して，$E-X$が逆行列を持つとき \[ E+X+X^2+\cdots +X^n=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1} \] が成立することを示せ．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列である．
(2) $A^2$と$A^3$を計算せよ．さらに$A^{100}$と$A^{101}$を計算せよ．
(3) $E+A+A^2+\cdots +A^{100}$を計算せよ．
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