鹿児島大学
2014年 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 第3問
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$r$を実数とする．$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=ra_{n+1}-4a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．次の各問いに答えよ．
(1) $r=0$の場合に，以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ．
$\tokeiichi$ \ \ $n$が奇数のとき． \qquad $\tokeini$ \ \ $n$が偶数のとき．
(2) $r=5$の場合に，次の$\tokeiichi$，$\tokeini$に答えよ．
(ⅰ) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(ⅱ) 一般項$a_n$を求めよ．
(3) $r=4$の場合に，次の$\tokeiichi$，$\tokeini$に答えよ．
(ⅰ) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$d_n$を求めよ．
(ⅱ) 一般項$a_n$を求めよ．
(1) $r=0$の場合に，以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ．
$\tokeiichi$ \ \ $n$が奇数のとき． \qquad $\tokeini$ \ \ $n$が偶数のとき．
(2) $r=5$の場合に，次の$\tokeiichi$，$\tokeini$に答えよ．
(ⅰ) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(ⅱ) 一般項$a_n$を求めよ．
(3) $r=4$の場合に，次の$\tokeiichi$，$\tokeini$に答えよ．
(ⅰ) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$d_n$を求めよ．
(ⅱ) 一般項$a_n$を求めよ．
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