鹿児島大学
2014年 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 第1問
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次の各問いに答えよ．
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに \[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \] という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2) $4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3) 正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(ⅰ) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ⅱ) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに \[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \] という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2) $4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3) 正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(ⅰ) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ⅱ) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
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