鹿児島大学
2012年 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 第4問
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次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1) $n$を自然数とする．$x$の関数$f(x)=x^ne^{1-x}$について，$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2) 自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{1-x} \, dx$とおくとき，$I_1$を求めよ．さらに，$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3) (2)の$I_n$に対して$\displaystyle a_n=\frac{I_n}{n!}$とおくとき，$\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}=a_1-a_n$であることを示せ．
(4) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=e-1$であることを示せ．
(1) $n$を自然数とする．$x$の関数$f(x)=x^ne^{1-x}$について，$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2) 自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{1-x} \, dx$とおくとき，$I_1$を求めよ．さらに，$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3) (2)の$I_n$に対して$\displaystyle a_n=\frac{I_n}{n!}$とおくとき，$\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}=a_1-a_n$であることを示せ．
(4) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=e-1$であることを示せ．
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コメント（1件）
2015-09-19 23:33:33
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