九州大学
2010年 理系 第3問
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$xy$平面上に曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x^2}$を描き,この曲線の第1象限内の部分を$C_1$,第2象限内の部分を$C_2$と呼ぶ.$C_1$上の点P$_1 \displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a^2} \right)$から$C_2$に向けて接線を引き,$C_2$との接点をQ$_1$とする.次に点Q$_1$から$C_1$に向けて接線を引き,$C_1$との接点をP$_2$とする.次に点P$_2$から$C_2$に向けて接線を引き,接点をQ$_2$とする.以下同様に続けて,C$_1$上の点列P$_n$と$C_2$上の点列Q$_n$を定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点Q$_1$の座標を求めよ.
(2) 三角形P$_1$Q$_1$P$_2$の面積$S_1$を求めよ.
(3) 三角形P$_n$Q$_n$P$_{n+1} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の面積$S_n$を求めよ.
(4) 級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} S_n$の和を求めよ.
(1) 点Q$_1$の座標を求めよ.
(2) 三角形P$_1$Q$_1$P$_2$の面積$S_1$を求めよ.
(3) 三角形P$_n$Q$_n$P$_{n+1} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の面積$S_n$を求めよ.
(4) 級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} S_n$の和を求めよ.
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