香川大学
2015年 法学部 第3問
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数列$\{a_n\}$は，
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1) $n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2) $n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3) $n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて \[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \] を示せ．
(1) $n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2) $n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3) $n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて \[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \] を示せ．
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