香川大学
2015年 法学部 第1問
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図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r$，$\mathrm{GS}=s$，$\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．
\imgc{665_2851_2015_1}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2) $\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3) $\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4) $\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{MR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(2) $\cos \theta$を$r,\ s$を用いて表せ．
(3) $\triangle \mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}={90}^\circ$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．
(4) $\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．
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