$n$を2以上の整数とする．集合$X_n=\{ 1,\ 2,\ \cdots,\ n \}$を2つの空集合ではない部分集合$A_n,\ B_n$に分ける．すなわち，$A_n \cup B_n=X_n,\ A_n \cap B_n = \phi,\ A_n \neq \phi,\ B_n \neq \phi$である．$A_n$に属する自然数の和を$a_n$，$B_n$に属する自然数の和を$b_n$とおく．例えば，$n=5$のとき，$X_5$を$A_5=\{ 1,\ 2,\ 5 \},\ B_5=\{ 3,\ 4 \}$と分ければ，$a_5=8,\ b_5=7$となる．このとき，次の問に答えよ．
(1) $n$が4の倍数のとき，$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ．
(2) $n+1$が4の倍数のときも，$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ．
(3) $n$も$n+1$も4の倍数ではないとき，$a_n=b_n$となるようには$X_n$を分けられないことを示せ．