関数$f(x)=ax^2+bx+c$を用いて，関数$g(x)$が \[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} -ax^2+1 & \displaystyle\left( x<\frac{\sqrt{a}}{a} \right) \\ f(x) & \displaystyle\left( x \geqq \frac{\sqrt{a}}{a} \right) \phantom{\frac{\fbox{}^{\mkakko{}}}{2}} \end{array} \right. \] で定義されている．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で，$a>0$とする．次の各問に答えなさい．
(1) 関数$f(x)$の導関数を求めなさい．
(2) 曲線$C_1:y=f(x)$は点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{a}}{a},\ 0 \right)$を通り，この点における曲線$C_1$の接線の傾きは$-2 \sqrt{a}$であるとする．
(ⅰ) $b$を$a$の式で表しなさい．また，$c$の値を求めなさい．
(ⅱ) 関数$g(x)$が$x=4$で極小になるように，$a$の値を定めなさい．
(3) 曲線$C_2:y=g(x)$は$2$点$(2,\ -1)$，$(3,\ 0)$を通る．また，曲線$C_2$と直線$L:y=tx$で囲まれる部分の面積を$t$の関数として$S(t)$で表す．ただし，$a=1$，$0 \leqq t \leqq 2$とする．このとき，$S(t)$の導関数の値は正である．
(ⅰ) $b,\ c$の値をそれぞれ求めなさい．
(ⅱ) $S(t)$の最小値を求めなさい．
(ⅲ) $S(t)$が最大値をとるとき，曲線$C_2$と直線$L$のすべての交点の座標を求めなさい．また，$S(t)$の最大値を求めなさい．