日本女子大学
2012年 家政学部 第4問
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$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$人がじゃんけんを繰り返すゲームをする.$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のどちらかが$2$回多く勝った時点でゲームは終了とする.$1$回のじゃんけんで$\mathrm{A}$が勝つ確率,$\mathrm{B}$が勝つ確率,あいこの確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{3}$である.自然数$n$に対して,じゃんけんを$n$回行った時点でちょうどゲームが終了となる確率を$p_n$とおく.また,じゃんけんを$n$回行った時点で$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のどちらかが$1$回多く勝っている確率を$q_n$とおき,ともに同じ回数だけ勝っている確率を$r_n$とおく.以下の問いに答えよ.
(1) $p_1,\ q_1$および$r_1$の値を求めよ.
(2) $n \geqq 2$のとき,$p_n$を$q_{n-1}$を用いて表せ.
(3) $n \geqq 2$のとき,$q_n,\ r_n$のそれぞれを$q_{n-1}$と$r_{n-1}$を用いて表せ.
(4) $n \geqq 2$のとき$q_n+kr_n=l(q_{n-1}+kr_{n-1})$を満たす実数$k,\ l$の値を$2$組求めよ.
(5) $(4)$で求めた$k,\ l$の値の$2$組を$k_1,\ l_1$と$k_2,\ l_2$とおく.ただし$k_1<k_2$とする.数列$\{q_n+k_1r_n\}$,数列$\{q_n+k_2r_n\}$,数列$\{q_n\}$,数列$\{r_n\}$の一般項をそれぞれ$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ. 数列$\{p_n\}$の一般項を$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ.
(1) $p_1,\ q_1$および$r_1$の値を求めよ.
(2) $n \geqq 2$のとき,$p_n$を$q_{n-1}$を用いて表せ.
(3) $n \geqq 2$のとき,$q_n,\ r_n$のそれぞれを$q_{n-1}$と$r_{n-1}$を用いて表せ.
(4) $n \geqq 2$のとき$q_n+kr_n=l(q_{n-1}+kr_{n-1})$を満たす実数$k,\ l$の値を$2$組求めよ.
(5) $(4)$で求めた$k,\ l$の値の$2$組を$k_1,\ l_1$と$k_2,\ l_2$とおく.ただし$k_1<k_2$とする.数列$\{q_n+k_1r_n\}$,数列$\{q_n+k_2r_n\}$,数列$\{q_n\}$,数列$\{r_n\}$の一般項をそれぞれ$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ. 数列$\{p_n\}$の一般項を$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ.
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