日本医科大学
2013年 医学部 第1問
1
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$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-3 & 6
\end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc}
a-2 & -1 \\
a^2-2a-4 & 2a-6
\end{array} \right)$に対して,以下の各問いに答えよ.
(1) 行列$A-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値を求めよ.ただし$E$は$2$次の単位行列を表す.
(2) $(1)$で求めた$k$の値を小さい順に$\alpha,\ \beta$とするとき,$\alpha P+\beta Q=A$,$P+Q=E$を満たす行列$P,\ Q$を求めよ.
(3) 行列の積$P^2,\ Q^2,\ PQ,\ QP$を求めよ.
(4) 行列$A$の$n$乗$A^n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ.
(5) $a>0$として,行列$C$を$C=A+B$と定めるとき,行列$C-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値がただ$1$つしかないという.このような定数$k$および$a$の値を求めよ. $(5)$で求めた$k$を用いて行列$N$を$N=C-kE$と定めるとき,$N^2$を求めよ. 行列$C$の$n$乗$C^n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ.
(1) 行列$A-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値を求めよ.ただし$E$は$2$次の単位行列を表す.
(2) $(1)$で求めた$k$の値を小さい順に$\alpha,\ \beta$とするとき,$\alpha P+\beta Q=A$,$P+Q=E$を満たす行列$P,\ Q$を求めよ.
(3) 行列の積$P^2,\ Q^2,\ PQ,\ QP$を求めよ.
(4) 行列$A$の$n$乗$A^n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ.
(5) $a>0$として,行列$C$を$C=A+B$と定めるとき,行列$C-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値がただ$1$つしかないという.このような定数$k$および$a$の値を求めよ. $(5)$で求めた$k$を用いて行列$N$を$N=C-kE$と定めるとき,$N^2$を求めよ. 行列$C$の$n$乗$C^n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ.
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