上智大学
2012年 経済(経営) 第3問
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大きさの同じ$N$個の正方形を,図$1$のように左端からつめて高さを$3$段までに並べる.このとき,各段の正方形の数はその$1$つ下の段の正方形の数以下とする.例えば,$N=4$の場合,図$2$のように$4$通りの並べ方がある.
(1) 上のような並べ方は,$N=5$のとき$\fbox{ノ}$通り,$N=6$のとき$\fbox{ハ}$通り,$N=7$のとき$\fbox{ヒ}$通りである.
(2) 高さが$2$段までの並べ方は,
$N$が偶数のとき,$\displaystyle \left( \frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}}N+\fbox{ホ} \right)$通り,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle \left( \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}N+\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}} \right)$通りである.
(3) $N=6n$($n$は自然数)のとき,高さが$3$段までの並べ方を考える.$3$段目の正方形が$m$個であるような並べ方が$a_m$通りあるとする.図$1$は$N=12$,$m=3$のときの並べ方の一例である.
$m$が偶数のとき, \[ a_m=\fbox{モ}n+\frac{\fbox{ヤ}}{\fbox{ユ}}m+\fbox{ヨ} \]
$m$が奇数のとき, \[ a_m=\fbox{ラ}n+\frac{\fbox{リ}}{\fbox{ル}}m+\frac{\fbox{レ}}{\fbox{ロ}} \] である.したがって,$N=6n$のとき,高さが$3$段までの並べ方は全部で \[ \fbox{ワ}n^2+\fbox{ヲ}n+\fbox{ン} \] 通りである. \imgc{220_157_2012_1}
(1) 上のような並べ方は,$N=5$のとき$\fbox{ノ}$通り,$N=6$のとき$\fbox{ハ}$通り,$N=7$のとき$\fbox{ヒ}$通りである.
(2) 高さが$2$段までの並べ方は,
$N$が偶数のとき,$\displaystyle \left( \frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}}N+\fbox{ホ} \right)$通り,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle \left( \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}N+\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}} \right)$通りである.
(3) $N=6n$($n$は自然数)のとき,高さが$3$段までの並べ方を考える.$3$段目の正方形が$m$個であるような並べ方が$a_m$通りあるとする.図$1$は$N=12$,$m=3$のときの並べ方の一例である.
$m$が偶数のとき, \[ a_m=\fbox{モ}n+\frac{\fbox{ヤ}}{\fbox{ユ}}m+\fbox{ヨ} \]
$m$が奇数のとき, \[ a_m=\fbox{ラ}n+\frac{\fbox{リ}}{\fbox{ル}}m+\frac{\fbox{レ}}{\fbox{ロ}} \] である.したがって,$N=6n$のとき,高さが$3$段までの並べ方は全部で \[ \fbox{ワ}n^2+\fbox{ヲ}n+\fbox{ン} \] 通りである. \imgc{220_157_2012_1}
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