慶應義塾大学
2016年 商学部 第2問
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$a$を正の実数,$b,\ c$を実数とする.$f(x)=ax^2+bx+c$とし,$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする.
(1) 放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は \[ b^2=\fbox{ウ} \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \] である.
(2) 条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき,その接点の座標は \[ \left( \fbox{$4$}-\frac{b}{\fbox{$5$}a},\ \fbox{$6$}a \right) \] である.このとき,直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し,その接点$\mathrm{P}$の座標は \[ \left( \fbox{$7$}\fbox{$8$}-\frac{b}{\fbox{$9$}a},\ \fbox{$10$}\fbox{$11$}a \right) \] である.
(3) 直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は \[ b^2=\fbox{エ} \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \] である.この条件が成り立つとき,その接点を$\mathrm{Q}$とする.
(4) 条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち,さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは, \[ a=\frac{\fbox{$12$}}{\fbox{$13$}},\quad b=\fbox{$14$}\fbox{$15$},\quad c=\frac{\fbox{$16$}}{\fbox{$17$}} \] のときである.このとき,円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$(\fbox{$18$},\ \fbox{$19$})$をもち,放物線$y=f(x)$,直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は \[ \frac{\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}}-\frac{\fbox{$22$}}{\fbox{$23$}} \pi \] である.
(1) 放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は \[ b^2=\fbox{ウ} \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \] である.
(2) 条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき,その接点の座標は \[ \left( \fbox{$4$}-\frac{b}{\fbox{$5$}a},\ \fbox{$6$}a \right) \] である.このとき,直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し,その接点$\mathrm{P}$の座標は \[ \left( \fbox{$7$}\fbox{$8$}-\frac{b}{\fbox{$9$}a},\ \fbox{$10$}\fbox{$11$}a \right) \] である.
(3) 直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は \[ b^2=\fbox{エ} \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \] である.この条件が成り立つとき,その接点を$\mathrm{Q}$とする.
(4) 条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち,さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは, \[ a=\frac{\fbox{$12$}}{\fbox{$13$}},\quad b=\fbox{$14$}\fbox{$15$},\quad c=\frac{\fbox{$16$}}{\fbox{$17$}} \] のときである.このとき,円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$(\fbox{$18$},\ \fbox{$19$})$をもち,放物線$y=f(x)$,直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は \[ \frac{\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}}-\frac{\fbox{$22$}}{\fbox{$23$}} \pi \] である.
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