$xyz$空間内の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$はすべて原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$上にある．$\mathrm{A}$の座標は$(0,\ 0,\ 1)$であり，$\mathrm{B}$の$x$座標は正，$y$座標は$0$である．また，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい．
(1) $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}$である．
(2) $\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \sqrt{\fbox{ハ}}$である．
(3) $\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}} \sqrt{\fbox{ヘ}}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$\fbox{ホ}$である．
以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．
(4) $\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}$である．
(5) $(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$\fbox{ム}$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}} \sqrt{\fbox{ヤ}}$である．