直線$y=x-1$上の点$\mathrm{A}(a,\ a-1)$を通り，放物線$y=x^2$に接する直線を，$\ell,\ m$とする．ただし，$\ell$の方が$m$よりも傾きが大きいものとする．
(1) 直線$\ell$の傾きを$a$で表すと \[ \fbox{キ}\left( a+\sqrt{a^2+\fbox{ク}a+\fbox{ケ}} \right) \] である．
(2) 直線$\ell,\ m$と放物線$y=x^2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする，線分$\mathrm{PQ}$と放物線$y=x^2$で囲まれた部分の面積$S$を$a$で表すと， \[ S= \frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}\left( a^2 +\fbox{シ}a+\fbox{ス} \right)^{\frac{3}{2}} \] であり，$\displaystyle a=\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{タ}}}{\fbox{チ}}$をとる．
(3) 放物線$y=x^2$上の点で直線$y=x-1$との距離が最小であるのは$\displaystyle\left( \frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}},\ \frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}} \right)$で，その距離は$\displaystyle\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}\sqrt{\fbox{ネ}}$である．