上智大学
2012年 法（国際），総合（社会） 第2問
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![1辺の長さが√2の正方形ABCDを底面とし，PA=PB=PC=PD=√5である四角錐PABCDを考える．（プレビューでは図は省略します）(1)四角錐PABCDのすべての面に接する球の中心をOとし，Pから底面ABCDに垂線PHを下ろすときPH=[テ],OH=\frac{[ト]}{[ナ]}である．(2)辺PBの中点をQ，辺PDの中点をRとする．3点Q，R，Cを含む平面と辺PAとの交点をSとする．このときSP=\frac{[ニ]}{[ヌ]}\sqrt{[ネ]}である．Sから線分ACに垂線STを下ろすときST=\frac{[ノ]}{[ハ]},CT=\frac{[ヒ]}{[フ]}である．さらに，四角形CRSQの面積は\frac{[ヘ]}{[ホ]}\sqrt{[マ]}である．](./thumb/220/145/2012_2.png)
2
$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，
\[ \mathrm{PA} = \mathrm{PB} = \mathrm{PC} = \mathrm{PD} = \sqrt{5} \]
である四角錐$\mathrm{PABCD}$を考える．
\imgc{220_145_2012_1}
(1) 四角錐$\mathrm{PABCD}$のすべての面に接する球の中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{P}$から底面$\mathrm{ABCD}$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき \[ \mathrm{PH}=\fbox{テ},\quad \mathrm{OH}=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}} \] である．
(2) 辺$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{PD}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{C}$を含む平面と辺$\mathrm{PA}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき \[ \mathrm{SP}=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}} \sqrt{\fbox{ネ}} \] である．$\mathrm{S}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{ST}$を下ろすとき \[ \mathrm{ST}=\frac{\fbox{ノ}}{\fbox{ハ}},\quad \mathrm{CT}=\frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}} \] である．さらに，四角形$\mathrm{CRSQ}$の面積は \[ \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}} \sqrt{\fbox{マ}} \] である．
(1) 四角錐$\mathrm{PABCD}$のすべての面に接する球の中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{P}$から底面$\mathrm{ABCD}$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき \[ \mathrm{PH}=\fbox{テ},\quad \mathrm{OH}=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}} \] である．
(2) 辺$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{PD}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{C}$を含む平面と辺$\mathrm{PA}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき \[ \mathrm{SP}=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}} \sqrt{\fbox{ネ}} \] である．$\mathrm{S}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{ST}$を下ろすとき \[ \mathrm{ST}=\frac{\fbox{ノ}}{\fbox{ハ}},\quad \mathrm{CT}=\frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}} \] である．さらに，四角形$\mathrm{CRSQ}$の面積は \[ \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}} \sqrt{\fbox{マ}} \] である．
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