$a,\ b$を実数とし，$C_1,\ C_2$をそれぞれ次の$2$次関数のグラフとする． \[ C_1: y=x^2, \quad C_2: y=-(x-a)^2+2a+b \]
(1) $C_1$と$C_2$が共有点をもつための条件を$a$と$b$で表すと \[ a^2+\fbox{タ}a+\fbox{チ}b \leqq 0 \] となる．特に$b$のとりうる値の範囲は$b \geqq \fbox{ツ}$であり，$b=\fbox{ツ}$のとき$C_1$と$C_2$はただ$1$つの共有点$\left( \fbox{テ},\ \fbox{ト} \right)$をもつ．
(2) $b=6$とし，$C_1$と$C_2$は共有点をもつとすると， \[ \fbox{ナ} \leqq a \leqq \fbox{ニ} \] である．このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とすると，$D$の面積$S$は \[ S=\frac{1}{3} \left( \fbox{ヌ}a^2+\fbox{ネ}a+\fbox{ノ} \right)^{\frac{3}{2}} \] と表される．$a=\fbox{ハ}$のとき$S$は最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}$をとる．
(3) $a=\fbox{ハ}$，$b=6$とし，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D_0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D_0$内を動くとき，$x+2y$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}$，最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}$である．