上智大学
2014年 理工学部 第4問
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![次の問いに答えよ．(1)∫_0^ute^{-t}dt=[ホ]ue^{-u}+[マ]e^{-u}+[ミ]であり，これより\lim_{u→∞}∫_0^ute^{-t}dt=[ム]である．(2)定義域が実数全体であり値が実数である連続関数f(x)と正の定数aが次の2つの条件(i)，(ii)を満たしているとする．(i)任意の実数xに対して∫_0^2(3x+t)e^{t-x}f(t)dt=af(x)が成り立つ．(ii)\lim_{u→∞}∫_0^uf(t)dt=1が成り立つ．このときa=[メ]+[モ]\sqrt{[ヤ]}であり，またf(x)=(3Ax+B)e^{kx}ただし，A=[ユ]+[ヨ]\sqrt{[ラ]}\qquadB=[リ]+[ル]\sqrt{[レ]}\qquadk=[ロ]である．](./thumb/220/158/2014_4.png)
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次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle \int_0^u te^{-t} \, dt=\fbox{ホ}ue^{-u}+\fbox{マ}e^{-u}+\fbox{ミ}$であり，これより \[ \lim_{u \to \infty} \int_0^u te^{-t} \, dt=\fbox{ム} \] である．
(2) 定義域が実数全体であり値が実数である連続関数$f(x)$と正の定数$a$が次の$2$つの条件$\tokeiichi$，$\tokeini$を満たしているとする．
(ⅰ) 任意の実数$x$に対して \[ \int_0^2 (3x+t)e^{t-x} f(t) \, dt=af(x) \] が成り立つ．
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{u \to \infty} \int_0^u f(t) \, dt=1$が成り立つ．
このとき$a=\fbox{メ}+\fbox{モ} \sqrt{\fbox{ヤ}}$であり，また \[ f(x)=(3Ax+B)e^{kx} \] ただし，$A=\fbox{ユ}+\fbox{ヨ} \sqrt{\fbox{ラ}}$
\qquad $B=\fbox{リ}+\fbox{ル} \sqrt{\fbox{レ}}$
\qquad\,$k=\fbox{ロ}$
である．
(1) $\displaystyle \int_0^u te^{-t} \, dt=\fbox{ホ}ue^{-u}+\fbox{マ}e^{-u}+\fbox{ミ}$であり，これより \[ \lim_{u \to \infty} \int_0^u te^{-t} \, dt=\fbox{ム} \] である．
(2) 定義域が実数全体であり値が実数である連続関数$f(x)$と正の定数$a$が次の$2$つの条件$\tokeiichi$，$\tokeini$を満たしているとする．
(ⅰ) 任意の実数$x$に対して \[ \int_0^2 (3x+t)e^{t-x} f(t) \, dt=af(x) \] が成り立つ．
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{u \to \infty} \int_0^u f(t) \, dt=1$が成り立つ．
このとき$a=\fbox{メ}+\fbox{モ} \sqrt{\fbox{ヤ}}$であり，また \[ f(x)=(3Ax+B)e^{kx} \] ただし，$A=\fbox{ユ}+\fbox{ヨ} \sqrt{\fbox{ラ}}$
\qquad $B=\fbox{リ}+\fbox{ル} \sqrt{\fbox{レ}}$
\qquad\,$k=\fbox{ロ}$
である．
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