上智大学
2014年 理工学部 第1問
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![次の問いに答えよ．(1)初項と公比が正である等比数列{a_n}があり，初項a_1は整数で，a_1+a_4=18であるとする．(i){a_n}の公比が整数であるとき，{a_n}の初項となり得る数のうち最小のものは[ア]である．(ii){a_n}からつくられた無限等比級数a_1+a_2+・・・+a_n+・・・が収束し，かつ公比が有理数であるとき，a_1=[イ]であり，この無限等比級数の和は[ウ]である．(2)定義域が実数全体であり値が実数である関数f(x)に関する命題P:x≧3 ならば f(x)＜2 である を考える．Pの否定となっている命題を選択肢から2つ選べ．選択肢：\mon[(a)]x＜3ならばf(x)≧2である．\mon[(b)]x≧3ならばf(x)≧2である．\mon[(c)]f(x)≧2ならばx＜3である．\mon[(d)]f(x)≧2となるx≧3が存在する．\mon[(e)]f(x)＜2となるx＜3が存在する．\mon[(f)]f(x)＜2となるx≧3が存在する．\mon[(g)]f(x)＜2ならばx≧3である．\mon[(h)]y≧3かつf(y)≧2を満たす実数yが存在する．(3)下図において，9つの点A～Iのどれか1つから出発し一筆書きで2つの線分をたどって3つの異なる点を結ぶ方法を考える．ただし，同じ3点を通るが出発点の異なる結び方は互いに区別するものとする．（プレビューでは図は省略します）(i)Aを出発点とする方法は[エ]通りある．(ii)Eを出発点とする方法は[オ]通りある．(iii)9つの点A～Iのどれか1つから出発する方法は全部で[カ]通りある．](./thumb/220/158/2014_1.png)
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次の問いに答えよ．
(1) 初項と公比が正である等比数列$\{a_n\}$があり，初項$a_1$は整数で，$a_1+a_4=18$であるとする．
(ⅰ) $\{a_n\}$の公比が整数であるとき，$\{a_n\}$の初項となり得る数のうち最小のものは$\fbox{ア}$である．
(ⅱ) $\{a_n\}$からつくられた無限等比級数 \[ a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots \] が収束し，かつ公比が有理数であるとき，$a_1=\fbox{イ}$であり，この無限等比級数の和は$\fbox{ウ}$である．
(2) 定義域が実数全体であり値が実数である関数$f(x)$に関する命題 \[ \mathrm{P} : \quad x \geqq 3 \text{ならば} f(x)<2 \text{である} \] を考える．$\mathrm{P}$の否定となっている命題を選択肢から$2$つ選べ．
選択肢：
[$\mathrm{(a)}$] $x<3$ならば$f(x) \geqq 2$である． [$\mathrm{(b)}$] $x \geqq 3$ならば$f(x) \geqq 2$である． [$\mathrm{(c)}$] $f(x) \geqq 2$ならば$x<3$である． [$\mathrm{(d)}$] $f(x) \geqq 2$となる$x \geqq 3$が存在する． [$\mathrm{(e)}$] $f(x)<2$となる$x<3$が存在する． [$\mathrm{(f)}$] $f(x)<2$となる$x \geqq 3$が存在する． [$\mathrm{(g)}$] $f(x)<2$ならば$x \geqq 3$である． [$\mathrm{(h)}$] $y \geqq 3$かつ$f(y) \geqq 2$を満たす実数$y$が存在する．
(3) 下図において，$9$つの点$\mathrm{A}$～$\mathrm{I}$のどれか$1$つから出発し一筆書きで$2$つの線分をたどって$3$つの異なる点を結ぶ方法を考える．ただし，同じ$3$点を通るが出発点の異なる結び方は互いに区別するものとする． \imgc{220_158_2014_1}
(ⅰ) $\mathrm{A}$を出発点とする方法は$\fbox{エ}$通りある．
(ⅱ) $\mathrm{E}$を出発点とする方法は$\fbox{オ}$通りある．
(ⅲ) $9$つの点$\mathrm{A}$～$\mathrm{I}$のどれか$1$つから出発する方法は全部で$\fbox{カ}$通りある．
(1) 初項と公比が正である等比数列$\{a_n\}$があり，初項$a_1$は整数で，$a_1+a_4=18$であるとする．
(ⅰ) $\{a_n\}$の公比が整数であるとき，$\{a_n\}$の初項となり得る数のうち最小のものは$\fbox{ア}$である．
(ⅱ) $\{a_n\}$からつくられた無限等比級数 \[ a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots \] が収束し，かつ公比が有理数であるとき，$a_1=\fbox{イ}$であり，この無限等比級数の和は$\fbox{ウ}$である．
(2) 定義域が実数全体であり値が実数である関数$f(x)$に関する命題 \[ \mathrm{P} : \quad x \geqq 3 \text{ならば} f(x)<2 \text{である} \] を考える．$\mathrm{P}$の否定となっている命題を選択肢から$2$つ選べ．
選択肢：
[$\mathrm{(a)}$] $x<3$ならば$f(x) \geqq 2$である． [$\mathrm{(b)}$] $x \geqq 3$ならば$f(x) \geqq 2$である． [$\mathrm{(c)}$] $f(x) \geqq 2$ならば$x<3$である． [$\mathrm{(d)}$] $f(x) \geqq 2$となる$x \geqq 3$が存在する． [$\mathrm{(e)}$] $f(x)<2$となる$x<3$が存在する． [$\mathrm{(f)}$] $f(x)<2$となる$x \geqq 3$が存在する． [$\mathrm{(g)}$] $f(x)<2$ならば$x \geqq 3$である． [$\mathrm{(h)}$] $y \geqq 3$かつ$f(y) \geqq 2$を満たす実数$y$が存在する．
(3) 下図において，$9$つの点$\mathrm{A}$～$\mathrm{I}$のどれか$1$つから出発し一筆書きで$2$つの線分をたどって$3$つの異なる点を結ぶ方法を考える．ただし，同じ$3$点を通るが出発点の異なる結び方は互いに区別するものとする． \imgc{220_158_2014_1}
(ⅰ) $\mathrm{A}$を出発点とする方法は$\fbox{エ}$通りある．
(ⅱ) $\mathrm{E}$を出発点とする方法は$\fbox{オ}$通りある．
(ⅲ) $9$つの点$\mathrm{A}$～$\mathrm{I}$のどれか$1$つから出発する方法は全部で$\fbox{カ}$通りある．
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