上智大学
2014年 文（哲），総合（教育），外国語（ドイツ、ポルトガル） 第1問
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![正三角形ABCにおいて，点Aから辺BCに下ろした垂線をAD，点Bから辺ACに下ろした垂線をBEとする．△ABDの内心をOとするとき，内接円Oの半径は1である．円Oと3辺AB，AD，BDとの接点をそれぞれF，G，Hとする．(1)AE=[ア]+\sqrt{[イ]}である．(2)AF=[ウ]+\sqrt{[エ]}である．(3)AO=\sqrt{[オ]}+\sqrt{[カ]}である．ただし，[オ]＜[カ]とする．(4)FG=\frac{\sqrt{[キ]}+\sqrt{[ク]}}{[ケ]}である．ただし，[キ]＜[ク]とする．(5)円Oの点Hを含まない弧FGと線分AFおよび線分AGで囲まれた図形の面積は[コ]+\sqrt{[サ]}+\frac{[シ]}{[ス]}πである．](./thumb/220/152/2014_1.png)
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正三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AD}$，点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{BE}$とする．$\triangle \mathrm{ABD}$の内心を$\mathrm{O}$とするとき，内接円$\mathrm{O}$の半径は$1$である．円$\mathrm{O}$と$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BD}$との接点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．
(1) $\mathrm{AE}=\fbox{ア}+\sqrt{\fbox{イ}}$である．
(2) $\mathrm{AF}=\fbox{ウ}+\sqrt{\fbox{エ}}$である．
(3) $\mathrm{AO}=\sqrt{\fbox{オ}}+\sqrt{\fbox{カ}}$である．ただし，$\fbox{オ}<\fbox{カ}$とする．
(4) $\displaystyle \mathrm{FG}=\frac{\sqrt{\fbox{キ}}+\sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}}$である．ただし，$\fbox{キ}<\fbox{ク}$とする．
(5) 円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{H}$を含まない弧$\mathrm{FG}$と線分$\mathrm{AF}$および線分$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積は \[ \fbox{コ}+\sqrt{\fbox{サ}}+\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}\pi \] である．
(1) $\mathrm{AE}=\fbox{ア}+\sqrt{\fbox{イ}}$である．
(2) $\mathrm{AF}=\fbox{ウ}+\sqrt{\fbox{エ}}$である．
(3) $\mathrm{AO}=\sqrt{\fbox{オ}}+\sqrt{\fbox{カ}}$である．ただし，$\fbox{オ}<\fbox{カ}$とする．
(4) $\displaystyle \mathrm{FG}=\frac{\sqrt{\fbox{キ}}+\sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}}$である．ただし，$\fbox{キ}<\fbox{ク}$とする．
(5) 円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{H}$を含まない弧$\mathrm{FG}$と線分$\mathrm{AF}$および線分$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積は \[ \fbox{コ}+\sqrt{\fbox{サ}}+\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}\pi \] である．
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