$1$から$10$までの数字を$1$つずつ書いた$10$枚のカードを数字の小さい順に左から右に並べる．この中から$3$枚を無作為に選び，いずれのカードも元の位置と異なる位置に置くという操作を考える．この操作を$2$回以上続けて行う場合，$2$回目以降はカードの並びを一番最初の状態に戻すことはせず，$1$回前の操作で置き換えられた状態から$3$枚を無作為に選ぶ．また，選んだ$3$枚のカードについて元の位置と異なる位置への置き方が複数あるとき，いずれの置き方も等しい確率で選ばれるものとする．置き換えの操作を$n$回続けて行ったとき，一番左のカードが$10$である確率を$P_n$で表す．
(1) $\displaystyle P_1=\frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}}$である．
(2) $n$回の操作の後で一番左のカードが$10$であり，$(n+1)$回目の操作の後も一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}}P_n$となる．
(3) $n$回の操作の後で一番左のカードが$10$ではなく，$(n+1)$回目の操作の後で一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{\fbox{ホ}P_n+\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}$となる．
(4) $P_{n+1}$を$P_n$の式で表すと \[ P_{n+1}=\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}}P_n+\frac{\fbox{モ}}{\fbox{ヤ}} \] となる．
(5) $\displaystyle P_n=\frac{\fbox{ユ}}{\fbox{ヨ}} \left( \frac{\fbox{ラ}}{\fbox{リ}} \right)^n+\frac{\fbox{ル}}{\fbox{レ}}$である．