上智大学
2014年 総合（看護） 第2問
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![∠Aが鋭角でAB=6，AC=4の△ABCがある．∠Aの二等分線と直線BCの交点をD，線分ADを2:1に内分する点をEとし，直線BEと直線ACの交点をFとする．(1)面積比△ABE:△ABCを最も簡単な整数比で表すと，△ABE:△ABC=[コ]:[サ]である．(2)線分比AF:FCを最も簡単な整数比で表すと，AF:FC=[シ]:[ス]である．(3)△ABEの面積が8/5√5であるとき，sin∠BAC=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}，BC=[タ]\sqrt{[チ]}，sin∠ABC=\frac{[ツ]}{[テ]}である．また，△ABCの外接円の半径は[ト]であり，内接円の半径は\sqrt{[ナ]}-[ニ]である．](./thumb/220/3184/2014_2.png)
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$\angle \mathrm{A}$が鋭角で$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{AC}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{BE}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．
(1) 面積比$\triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}$を最も簡単な整数比で表すと， \[ \triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}=\fbox{コ}:\fbox{サ} \] である．
(2) 線分比$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を最も簡単な整数比で表すと， \[ \mathrm{AF}:\mathrm{FC}=\fbox{シ}:\fbox{ス} \] である．
(3) $\triangle \mathrm{ABE}$の面積が$\displaystyle \frac{8}{5}\sqrt{5}$であるとき，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$，$\mathrm{BC}=\fbox{タ} \sqrt{\fbox{チ}}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}$である．
また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\fbox{ト}$であり，内接円の半径は$\sqrt{\fbox{ナ}}-\fbox{ニ}$である．
(1) 面積比$\triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}$を最も簡単な整数比で表すと， \[ \triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}=\fbox{コ}:\fbox{サ} \] である．
(2) 線分比$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を最も簡単な整数比で表すと， \[ \mathrm{AF}:\mathrm{FC}=\fbox{シ}:\fbox{ス} \] である．
(3) $\triangle \mathrm{ABE}$の面積が$\displaystyle \frac{8}{5}\sqrt{5}$であるとき，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$，$\mathrm{BC}=\fbox{タ} \sqrt{\fbox{チ}}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}$である．
また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\fbox{ト}$であり，内接円の半径は$\sqrt{\fbox{ナ}}-\fbox{ニ}$である．
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